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微电子

电路模型和电路定律

电流和电压的参考方向

  • 关联参考方向:电流、电压方向一致
  • 非关联参考方向:电流、电压方向不一致

电功率和能量

在U,I为关联参考方向下:

  • U,I同号,元件吸收功率
  • U,I异号,元件释放功率

电阻元件

线性电阻

电容元件

$dq=Cdv$

电容吸收的功率

电感元件

$d\phi=Ldi$

电压源和电流源

受控电源

控制系数

基尔霍夫定律

  • 支路:组成电路的每一个二端元件称为一条支路
  • 节点:支路的连接点称为节点
  • 回路:由支路构成的闭合路径称为回路

KCL:基尔霍夫电流定律

在集总电路中,任何时刻,对任一节点,所有流出节点的支路电流的代数和恒等于0

KVL:基尔霍夫电压定律

在集总电路中,任何时刻,沿任一回路所有支路电压的代数和恒等于0

电阻电路的等效变换

电路的等效变换

  • 等效电路:对电路的一部分进行简化,用简化的电路替代原电路.代换与被代换部分的电压,电流关系相同.这两部分电路互称等效电路

电阻的串联和并联

桥形连接

当满足条件$R_1R_4=R_2R_3$时,对角线支路中的电流为0,称为电桥处于平衡状态,这一条件也成为电桥的平衡条件

电阻的$Y$形联结和$\Delta$形联结的等效变换

  • $\Delta$形电阻$=\dfrac{Y\text{形电阻两两乘积之和}}{Y\text{形不相邻电阻}}$

$R_{12}=\dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}$
$R_{23}=\dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1}$
$R_{31}=\dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2}$

  • $Y$形电阻$=\dfrac{\Delta\text{形相邻电阻的乘积}}{\Delta\text{形电阻之和}}$

$R_1=\dfrac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
$R_2=\dfrac{R_{23}R_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
$R_3=\dfrac{R_{31}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$

电压源,电流源的串并联

  • 只有电压相等极性一致的电压源才允许并联,等效电路为其中任一电压源
  • 只有电流相等方向一致的电流源才允许串联,等效电路为其中任一电流源

实际电源的两种模型及其等效变换

  • 电压源转为电流源:$i_s=\dfrac{u_s}{R}$

(含受控源电路的)输入电阻

当一端口无源网络内含有受控源时,可以采用外加电压法外加电流法求得输入电阻之和

电阻电路的一般分析

电路的图

线图(图)

用线段代替电路中的每个元件,线段称为支路,线段的端点称为结点,这样的以线,点组成的几何结构图称为线图或拓扑图,简称,用$G$表示

树,树支,连支

  • 树:包含图$G$的全部结点和部分支路,本身是连通的,不包含回路,用$T$表示
  • 树支:构成树的各支路叫树支
  • 连支:除树支以外的其他支路称为连支

KCL和KVL的独立方程数

  • 对一个节点数为$n$,支路数为$b$的连通图
    • KCL独立方程数为$n-1$个
    • KVL独立方程数等于它的独立回路(连支)数$b-n+1$

支路电流法

  1. 选定各支路电流的参考方向
  2. 对$(n-1)$个独立结点列出KCL方程
  3. 选取$(b-n+1)$个独立回路,指定回路的绕行方向,列出KVL方程

网孔电流法

仅适用于平面电路

回路电流法

  1. 根据给定的电路,通过选择一个树确定一组基本回路,并指定各回路电流的参考方向
  2. 列出回路电流方程
  3. 当电路中优受控源或无伴电流源时,另行处理
  4. 对于平面电路可用网孔电流法

结点电压法

  1. 指定参考结点,其余结点对参考节点之间的电压就是节点电压.通常以参考结点为各节点电压的负极性
  2. 列出节点电压方程
  3. 当电路中有受控源或无伴电压源时需另行处理

电路定理

叠加定理

一个具有唯一解的线性电阻电路,任一处的电压(或电流)是各个独立电源单独作用时在该处产生的电压(或电流)的叠加

齐性定理

线性电路中当所有激励都增大或缩小$N$倍,则电路的相应也将增大或缩小$N$倍

替代定理

戴维宁定理和诺顿定理

戴维宁定理

一个含独立电源,线性电阻和受控源的一端口,对外电路来说,可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效.其中电压源的电压等于一端口的开路电压$U_{OC}$,电阻等于一端口的全部独立电源均置0后的输入电阻$R_i$

诺顿定理

一个含独立电源,线性电阻和受控源的二端网络,可以等效为一个电流源和电导的并联组合.电流源的电流等于该网络的短路电流,电导等于该网络全部独立电源置0后的输入电导

动态电路

含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路

特点:当动态电路状态发生改变时(换路)需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态.这个变化过程称为电路的过渡过程

过渡过程产生的原因:电路内部含有储能元件$L,C$,电路在换路时能量发生变化,而能量的存储和释放都需要一定的时间来完成

动态电路的方程

含有一个动态元件电容或电感的线性电路,其电路方程为一阶线性常微分方程,称一阶电路
含有两个动态元件的线性电路,其电路方程为二阶线性常微分方程,称二阶电路
结论

  • 描述动态电路的电路方程为微分方程
  • 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数

动态电路的初始条件

换路定律

换路瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容电压(电荷)换路前后保持不变
换路瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感电流(磁链)换路前后保持不变

正弦电路

同频率正弦量的相位差

$\phi=\psi_i-\psi_u$

  • $\psi < 0,u$超前$i$ $\phi$角($u$比$i$先到达最大值)

同相,反相

周期性电流,电压的有效值

电压有效值$U=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^Tu^2(t)dt}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}U_m$

正弦稳态电路的功率

$u(t)=\sqrt{2}U\sin\omega t,i(t)=\sqrt{2}I\sin(\omega t-\phi)$

  • 平均功率:$P=\dfrac{1}{T}\int_0^Tpdt=UIcos\phi$,表示电路实际消耗的功率,亦称为有功功率
  • 无功功率:$Q=UI\sin\phi$,反映网络与外电路交换功率的大小,是由储能元件$L,C$的性质决定的.单位:var(乏)
  • 视在功率(表观功率):$S=UI$,反映含源一端口的做功能力,反映电气设备的容量.单位:$VA$(伏安)

R,L,C元件的有功功率和无功功率

对电阻,$u,i$同相,故$Q=0$,电阻只吸收(消耗)功率,不发出功率

  • $P_R=UI\cos\phi=UI\cos0$
  • $Q_R=UI\sin\phi=UI\sin0$

对电感,$u$领先$i$ 90,故$P_L=0$,即电感不消耗功率.由于$Q_L > 0$,故电感吸收无功功率

  • $P_R=UI\cos\phi=UI\cos90$
  • $Q_R=UI\sin\phi=UI\sin90$

对电容,$i$领先$u$ 90,故$P_C=0$,即电容不消耗功率.由于$Q_C < 0$,故电容发出无功功率

电感,电容的无功补偿作用

当$L$发出功率时,$C$刚好吸收功率,则与外电路交换功率为$p_L+p_C$.因此$L,C$的无功具有互相补偿的作用

有功,无功,视在功率的关系

$S=\sqrt{P^2+Q^2}$

功率因数提高

设备容量$S$(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定:$P=S\cos\phi$

功率因数低带来的问题:

  1. 设备不能充分利用,电流到了额定值,但功率容量还有
  2. 当输出相同的有功功率时,线路上的电流大,线路压降损耗大

解决办法:并联电容,提高功率因数(改进自身设备)

  • $P_R=UI\cos\phi=UI\cos0$
  • $Q_R=UI\sin\phi=UI\sin0$

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